Математический анализ Примеры

$10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $10 y^{5}$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{9} y^{5}$ по $x$ равна $10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$10 y^{5} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Этап 1.2.3

Умножим $9$ на $10$ .

$90 y^{5} x^{8} + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $7 y^{8}$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{4} y^{8}$ по $x$ равна $7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} (4 x^{3})$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $7$ .

$90 y^{5} x^{8} + 28 y^{8} x^{3}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $90 y^{5}$ является константой относительно $x$ , производная $90 x^{8} y^{5}$ по $x$ равна $90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$90 y^{5} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Этап 2.2.3

Умножим $8$ на $90$ .

$720 y^{5} x^{7} + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $28 y^{8}$ является константой относительно $x$ , производная $28 y^{8} x^{3}$ по $x$ равна $28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} (3 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $28$ .

$720 y^{5} x^{7} + 84 y^{8} x^{2}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $720 y^{5}$ является константой относительно $x$ , производная $720 x^{7} y^{5}$ по $x$ равна $720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$720 y^{5} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Этап 3.2.3

Умножим $7$ на $720$ .

$5040 y^{5} x^{6} + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $84 y^{8}$ является константой относительно $x$ , производная $84 y^{8} x^{2}$ по $x$ равна $84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} (2 x)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $84$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 168 y^{8} x$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = 5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

$\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $5040 y^{5}$ является константой относительно $x$ , производная $5040 x^{6} y^{5}$ по $x$ равна $5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$5040 y^{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Этап 4.2.3

Умножим $6$ на $5040$ .

$30240 y^{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $168 y^{8}$ является константой относительно $x$ , производная $168 y^{8} x$ по $x$ равна $168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \cdot 1$

Этап 4.3.3

Умножим $168$ на $1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$f^{4} (x) = 168 y^{8} + 30240 x^{5} y^{5}$