Математический анализ Примеры

$y = 4^{e^{x^{2}}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 4^{x}$ и $g (x) = e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $4$ .

$4^{u_{1}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{x^{2}}$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (2 x))$

Этап 3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

Этап 4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$ .

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$ .

$x \cdot 2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} \ln (4)$