Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \sin (8 x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (8 x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (8 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$x^{2} (\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (\cos (8 x) (8 \cdot 1)) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $8$ на $1$ .

$x^{2} (\cos (8 x) \cdot 8) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $8$ влево от $\cos (8 x)$ .

$x^{2} (8 \cdot \cos (8 x)) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (8 \cos (8 x)) + \sin (8 x) (2 x)$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$