Математический анализ Примеры

$(10 - x) y^{2} = x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ((10 - x) y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 10 - x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$(10 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$(10 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(10 - x) (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$(10 - x) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $10 - x$ .

$2 \cdot (10 - x) y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $10 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.6

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.7

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \cdot - 1$

Этап 2.10.2

Перенесем $- 1$ влево от $y^{2}$ .

$2 (10 - x) y y' - 1 \cdot y^{2}$

Этап 2.10.3

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$2 (10 - x) y y' - y^{2}$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 10 + 2 (- x)) y y' - y^{2}$

Этап 2.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 10 y + 2 (- x) y) y' - y^{2}$

Этап 2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 10 y y' + 2 (- x) y y' - y^{2}$

Этап 2.11.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Умножим $2$ на $10$ .

$20 y y' + 2 (- x) y y' - y^{2}$

Этап 2.11.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$20 y y' - 2 x y y' - y^{2}$

Этап 2.11.5

Изменим порядок членов.

$- y^{2} + 20 y y' - 2 x y y'$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- y^{2} + 20 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$20 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $20 y y' - 2 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $20 y y'$ .

$2 y y' \cdot 10 - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 2 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 10 + 2 y y' (- x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' \cdot 10 + 2 y y' (- x)$ .

$2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ на $2 y (10 - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ на $2 y (10 - x)$ .

$\frac{2 y y' (10 - x)}{2 y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (10 - x)}{2 y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (10 - x)}{y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (10 - x)}{y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (10 - x)}{10 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $10 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (10 - x)}{10 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{2 y (10 - x)}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y (10 - x)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (10 - x))}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (10 - x))}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y}{2 (10 - x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y}{2 (10 - x)}$