Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{2} - x y = 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y^{2} - x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.2

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y') - y$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y$

Этап 3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y y' - x y' - y = - 2 y^{2} x$

Этап 5.1.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} y y' - x y' = - 2 y^{2} x + y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x y'$ из $2 x^{2} y y' - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x y'$ из $2 x^{2} y y'$ .

$x y' (2 x y) - x y' = - 2 y^{2} x + y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x y'$ из $- x y'$ .

$x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x + y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1$ .

$x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ на $x (2 x y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ на $x (2 x y - 1)$ .

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $2 x y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x y - 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{(2 x y - 1) x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(2 x y - 1) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x + y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y^{2} x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y^{1}}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y \cdot 1}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.5.4

Вынесем множитель $y$ из $y (- 2 y x) + y \cdot 1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x + 1)}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $- 2 y x + 1$ и $2 x y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y x) + 1)}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.6.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y x) - 1 (- 1))}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.6.4

Перепишем $- (2 y x - 1)$ в виде $- 1 (2 y x - 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.6.5

Изменим порядок членов.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.6.6

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Этап 5.3.3.6.7

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Этап 5.3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Этап 5.3.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$