Математический анализ Примеры

$x^{3} < 49 x$

Этап 1

Вычтем $49 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{3} - 49 x < 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 49 x = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 49 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 49 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 49 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 49 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 49$ .

$x (x^{2} - 49) = 0$

Этап 3.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x (x^{2} - 7^{2}) = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$x ((x + 7) (x - 7)) = 0$

Этап 3.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 7) (x - 7) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 7

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 7.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 7) (x - 7) = 0$ верно.

$x = 0, - 7, 7$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

${(- 10)}^{3} < 49 (- 10)$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 1000$ меньше правой части $- 490$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{3} < 49 (- 4)$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 64$ не меньше правой части $- 196$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{3} < 49 (4)$

Этап 10.3.3

Левая часть $64$ меньше правой части $196$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

${(10)}^{3} < 49 (10)$

Этап 10.4.3

Левая часть $1000$ не меньше правой части $490$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 7$ или $0 < x < 7$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 7) \cup (0, 7)$

Этап 13