Математический анализ Примеры

$\cos (2 \arctan (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 \arctan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 \arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 \arctan (x)]$

Этап 1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 \arctan (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 \arctan (x)$ .

$- \sin (2 \arctan (x)) \frac{d}{d x} [2 \arctan (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \arctan (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$- \sin (2 \arctan (x)) (2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)])$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (2 \arctan (x)) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 3

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- 2 \sin (2 \arctan (x)) \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{1 + x^{2}}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{1 + x^{2}} \sin (2 \arctan (x))$

Этап 4.2

Объединим $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ и $\sin (2 \arctan (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (2 \arctan (x))}{1 + x^{2}}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \sin (2 \arctan (x))}{1 + x^{2}}$