Математический анализ Примеры

$\ln (\sin (3 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{\sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\sin (3 x)}$ в $\csc (3 x)$ .

$\csc (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\csc (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\csc (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\csc (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\csc (3 x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\csc (3 x) \cos (3 x) \cdot 3$

Этап 4.3.2

Перенесем $3$ влево от $\csc (3 x) \cos (3 x)$ .

$3 \cdot (\csc (3 x) \cos (3 x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $3 \csc (3 x) \cos (3 x)$ .

$3 \cos (3 x) \csc (3 x)$

Этап 5.2

Выразим $\csc (3 x)$ через синусы и косинусы.

$3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x)}$

Этап 5.3

Умножим $3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $\frac{1}{\sin (3 x)}$ и $3$ .

$\frac{3}{\sin (3 x)} \cos (3 x)$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{3}{\sin (3 x)}$ и $\cos (3 x)$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Этап 5.4

Разделим дроби.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Этап 5.5

Переведем $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ в $\cot (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \cot (3 x)$

Этап 5.6

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \cot (3 x)$