Математический анализ Примеры

$y = (7 - x^{2}) (x^{3} - x + 5)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 7 - x^{2}$ и $g (x) = x^{3} - x + 5$ .

$(7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - x + 5] + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(7 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Этап 2.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + 0) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Этап 2.7

Добавим $3 x^{2} - 1$ и $0$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $7 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.9

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (- (2 x))$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (- 2 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(7 - x^{2}) (3 x^{2}) + (7 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + (7 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$7 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $7$ .

$21 x^{2} - x^{2} (3 x^{2}) + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$21 x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$21 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$21 x^{2} - 3 x^{2 + 2} + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$21 x^{2} - 3 x^{4} + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.4

Умножим $7$ на $- 1$ .

$21 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$21 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + 1 x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$21 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.7

Добавим $21 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.8

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1

Перенесем $x$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x \cdot x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.8.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{1} x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{1 + 3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.8.3

Добавим $1$ и $3$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{4} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.9

Перенесем $- 2$ влево от $x^{4}$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 \cdot x^{4} - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.10

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x \cdot x + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x^{1 + 1} + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.14

Добавим $1$ и $1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x^{2} + 5 (- 2 x)$

Этап 3.5.15

Умножим $- 2$ на $5$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x^{2} - 10 x$

Этап 3.5.16

Вычтем $2 x^{4}$ из $- 3 x^{4}$ .

$22 x^{2} - 5 x^{4} - 7 + 2 x^{2} - 10 x$

Этап 3.5.17

Добавим $22 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$24 x^{2} - 5 x^{4} - 7 - 10 x$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$- 5 x^{4} + 24 x^{2} - 10 x - 7$