Математический анализ Примеры

$x \sin (x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (x^{2})$ .

$x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\sin (x^{2})$ на $1$ .

$x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2})$

Этап 9.2

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})$