Математический анализ Примеры

$y = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{2}{x} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x}{3}$

Этап 1

По правилу суммы производная $- \frac{x^{2}}{16} + \frac{2}{x} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{1}{16}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{16}$ по $x$ равна $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{16}) x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{16}$ .

$\frac{- 2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.5

Объединим $\frac{- 2}{16}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (8)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{x}{8} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{x}{8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{x}{8} + 2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 4.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.10

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{3} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.11

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $x^{- 3}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.12

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 6.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x}{8} + \frac{- 2}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{8} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{x}{8} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$