Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\sin (\sqrt{x})}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}$ в виде ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 7.3

Перенесем ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 8.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ и $\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 16

Умножим $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 17

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.2

Разделим дроби.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3

Переведем $\frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ в ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 18.4

Объединим $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$