Математический анализ Примеры

$y = \arccos (x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arccos (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Производная $\arccos (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} (2 x)$

Этап 2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} x$

Этап 2.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - x^{4}}} x$

Этап 2.3.3

Объединим $\frac{- 2}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$

Этап 2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$