Математический анализ Примеры

$y = x \sin (\frac{2}{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (\frac{2}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2}{x})] + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2}{x}$ .

$x (\cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x (\cos (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x (\cos (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (\cos (\frac{2}{x}) (2 (- x^{- 2}))) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\cos (\frac{2}{x}) (- 2 x^{- 2})) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{2}{x}) \cdot (- 2)) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{2}{x}) \cdot (- 2)) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$x^{- 1} (\cos (\frac{2}{x}) \cdot (- 2)) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.2

Перенесем $- 2$ влево от $\cos (\frac{2}{x})$ .

$x^{- 1} (- 2 \cdot \cos (\frac{2}{x})) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{- 1} (- 2 \cos (\frac{2}{x})) + \sin (\frac{2}{x}) \cdot 1$

Этап 8

Умножим $\sin (\frac{2}{x})$ на $1$ .

$x^{- 1} (- 2 \cos (\frac{2}{x})) + \sin (\frac{2}{x})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- 2 \cos (\frac{2}{x})) + \sin (\frac{2}{x})$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x} \cos (\frac{2}{x}) + \sin (\frac{2}{x})$

Этап 9.2.2

Объединим $\frac{- 2}{x}$ и $\cos (\frac{2}{x})$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{2}{x})}{x} + \sin (\frac{2}{x})$

Этап 9.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cos (\frac{2}{x})}{x} + \sin (\frac{2}{x})$