Математический анализ Примеры

$\frac{s}{1 + s^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ имеет вид $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ , где $f (s) = s$ и $g (s) = 1 + s^{2}$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим $1 + s^{2}$ на $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $1 + s^{2}$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $s$ , производная $1$ относительно $s$ равна $0$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (0 + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (2 s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s \cdot s}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 3

Возведем $s$ в степень $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 4

Возведем $s$ в степень $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s^{1})}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{1 + 1}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 7

Вычтем $2 s^{2}$ из $s^{2}$ .

$\frac{1 - s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{- s^{2} + 1}{{(s^{2} + 1)}^{2}}$