Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5}{x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.6

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{3}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.8

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.9

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.12

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.14

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.15

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 + 0) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.16

Добавим $16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4$ и $0$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 2.18

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 2.18.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 2.18.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) + x^{2} (- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{6}}$

Этап 2.18.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) + x^{2} (- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{6}}$

Этап 3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5)}{x^{4}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (16 x^{3}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5)}{x^{4}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (16 x^{3}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 x \cdot x^{3} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{16 (x^{3} x) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{16 (x^{3} x^{1}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 x^{3 + 1} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{16 x^{4} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 x^{4} + 21 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 (x^{2} x) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{2 + 1} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.7

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 \cdot x - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.8

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.9

Умножим $7$ на $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.10

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.11

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Этап 4.3.1.12

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Этап 4.3.2

Объединим противоположные члены в $16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $21 x^{3}$ из $21 x^{3}$ .

$\frac{16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} + 0 + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Этап 4.3.3

Вычтем $12 x^{4}$ из $16 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Этап 4.3.4

Добавим $- 6 x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} + 3 x^{2} - 4 x + 12 x - 15}{x^{4}}$

Этап 4.3.5

Добавим $- 4 x$ и $12 x$ .

$\frac{4 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x - 15}{x^{4}}$