Математический анализ Примеры

$4 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Этап 9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Этап 13.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Этап 13.3

Перепишем $4 \cos^{2} (x)$ в виде ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Этап 13.4

Перепишем $4 \sin^{2} (x)$ в виде ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Этап 13.5

Изменим порядок $- {(2 \sin (x))}^{2}$ и ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Этап 13.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 \cos (x)$ и $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Этап 13.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Этап 13.8

Развернем $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Этап 13.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Этап 13.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 13.9

Объединим противоположные члены в $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Изменим порядок множителей в членах $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ и $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 13.9.2

Добавим $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ и $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 13.9.3

Добавим $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ и $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 13.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.1

Умножим $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 13.10.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 13.10.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 13.10.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 13.10.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 13.10.2

Умножим $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.2.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Этап 13.10.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 13.10.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 13.10.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 13.10.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$