Математический анализ Примеры

$\sqrt{8 x}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ в виде $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $8 x$ в виде $2^{2} \cdot (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Этап 1.1.3

Добавим круглые скобки.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 5

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 8

Поскольку $2^{\frac{3}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 16

Объединим $2^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2

Перенесем $2^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Умножим $2^{\frac{3}{2}}$ на $2^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$