Математический анализ Примеры

$\frac{2 x - 1}{x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x - 1$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.7.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2} - (2 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x - 1) x}{x^{4}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Этап 3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{x^{4}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{x^{4}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{x^{4}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x (- x + 1)$ .

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{4}}$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{x^{3}}$

Этап 3.7

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{x^{3}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{x^{3}}$

Этап 3.9

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{x^{3}}$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (x - 1)}{x^{3}}$