Математический анализ Примеры

$\frac{1}{{(1 - 2 x)}^{3}}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{1}{{(1 - 2 x)}^{3}}$ в виде ${({(1 - 2 x)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 - 2 x)}^{3})}^{- 1}]$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${({(1 - 2 x)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{3 \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{- 3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 3}$ и $g (x) = 1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x$ .

$- 3 {(1 - 2 x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 3 {(1 - 2 x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 {(1 - 2 x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 3 {(1 - 2 x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(1 - 2 x)}^{- 4} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$6 {(1 - 2 x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 {(1 - 2 x)}^{- 4} \cdot 1$

Этап 3.7

Умножим $6$ на $1$ .

$6 {(1 - 2 x)}^{- 4}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(1 - 2 x)}^{4}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{{(1 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(1 - 2 x)}^{4}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{6}{{(- 2 x + 1)}^{4}}$