Математический анализ Примеры

$f (t) = {(\frac{1}{t - 3})}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \frac{1}{t - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{1}{t - 3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{1}{t - 3}$ .

$2 \frac{1}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{t - 3}$ .

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{t - 3}$ в виде ${(t - 3)}^{- 1}$ .

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{- 1}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t - 3$ .

$\frac{2}{t - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t - 3])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{2}{t - 3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t - 3$ .

$\frac{2}{t - 3} (- {(t - 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{t - 3}$ и ${(t - 3)}^{- 2}$ .

$- \frac{2 {(t - 3)}^{- 2}}{t - 3} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Этап 4.2

Перенесем ${(t - 3)}^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{(t - 3) {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Этап 5

Умножим $t - 3$ на ${(t - 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $t - 3$ на ${(t - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $t - 3$ в степень $1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1} {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Этап 5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1 + 2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Этап 5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Этап 6

По правилу суммы производная $t - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])$

Этап 8

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + 0)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \cdot 1$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}}$