Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} = 12 x y - 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (12 x y - 8)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 x y - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x y$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$12 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$12 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 (x y' + y) + 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (x y') + 12 y + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $12 x y' + 12 y$ и $0$ .

$12 x y' + 12 y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 12 x y' + 12 y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $12 x y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 12 x y' = 12 y$

Этап 5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 12 x y' = 12 y - 3 x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y' - 12 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 12 x y' = 12 y - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 12 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' y^{2} + 3 y' (- 4 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$ на $3 (y^{2} - 4 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$ на $3 (y^{2} - 4 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 4 x)}{3 (y^{2} - 4 x)} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (y^{2} - 4 x)}{3 (y^{2} - 4 x)} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} - 4 x)}{y^{2} - 4 x} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} - 4 x)}{y^{2} - 4 x} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 y$ .

$y' = \frac{3 (4 y)}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (4 y)}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Этап 5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{4 y - x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - x^{2}}{y^{2} - 4 x}$