Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) = \ln (2)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) - \ln (2) = 0$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x) = 0$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $- 3 \ln (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - \ln (x^{3}) = 0$

Этап 3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} + 1}{2}}{x^{3}}) = 0$

Этап 3.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}) = 0$

Этап 3.1.4

Умножим $\frac{x^{2} + 1}{2}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$

Этап 4

Перепишем $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}$

Этап 5

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} + 1 = e^{0} (2 x^{3})$

Этап 6

Упростим $e^{0} (2 x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} + 1 = 1 (2 x^{3})$

Этап 6.2

Умножим $2 x^{3}$ на $1$ .

$x^{2} + 1 = 2 x^{3}$

Этап 7

Вычтем $2 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 1 - 2 x^{3} = 0$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок членов.

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Этап 8.2

Разложим $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5$

Этап 8.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1$

Этап 8.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 2 \cdot 1 + 1^{2} + 1$

Этап 8.2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + 1^{2} + 1$

Этап 8.2.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 2 + 1 + 1$

Этап 8.2.3.5

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 1 + 1$

Этап 8.2.3.6

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 8.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 1}{x - 1}$

Этап 8.2.5

Разделим $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 8.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 8.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 8.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 8.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 8.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Этап 8.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Этап 8.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 8.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 8.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Этап 8.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Этап 8.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Этап 8.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Этап 8.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 1$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Этап 8.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Этап 8.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 2 x^{2} - x - 1$

Этап 8.2.6

Запишем $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1) = 0$

Этап 9

Упростим $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Развернем $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x (- 2 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} x) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{2} x^{1}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{2 + 1} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 2 x^{3} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x^{3} - x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$- 2 x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - 1 \cdot x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.6

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.8

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + 1 x - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.8.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 9.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Объединим противоположные члены в $- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 1 = 0$

Этап 9.2.2.1.2

Добавим $- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2}$ и $0$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 1 = 0$

Этап 9.2.2.2

Добавим $- x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Этап 10

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{3}$ .

$- (2 x^{3}) + x^{2} + 1 = 0$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $x^{2}$ .

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) + 1 = 0$

Этап 10.1.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 10.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2})$ .

$- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 10.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- (2 x^{3} - x^{2} - 1) = 0$

Этап 10.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разложим $2 x^{3} - x^{2} - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 10.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5$

Этап 10.2.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$2 \cdot 1^{3} - 1^{2} - 1$

Этап 10.2.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$2 \cdot 1 - 1^{2} - 1$

Этап 10.2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 1^{2} - 1$

Этап 10.2.1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$2 - 1 \cdot 1 - 1$

Этап 10.2.1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1 - 1$

Этап 10.2.1.3.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$1 - 1$

Этап 10.2.1.3.7

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 10.2.1.4

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 10.2.1.5

Разделим $2 x^{3} - x^{2} - 1$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.5.1

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 10.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Этап 10.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 10.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 10.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 10.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Этап 10.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Этап 10.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 10.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 10.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$

Этап 10.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 10.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 10.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Этап 10.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Этап 10.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Этап 10.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + x + 1$

Этап 10.2.1.6

Запишем $2 x^{3} - x^{2} - 1$ в виде набора множителей.

$- ((x - 1) (2 x^{2} + x + 1)) = 0$

Этап 10.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 12

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 12.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 13

Приравняем $2 x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $2 x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 13.2

Решим $2 x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 13.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 13.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 13.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 13.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 13.2.3.1.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 13.2.3.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 13.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Этап 13.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Этап 13.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Этап 13.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$