Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x \ln (x)}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{1}{x \ln (x)}$ не определено.

$x \leq 0, x = 1$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 1.3

Поскольку $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Этап 1.4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = 0, 1$

Этап 1.5

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Этап 1.7

Поскольку $n < m$ , ось X, $y = 0$ , является горизонтальной асимптотой.

$y = 0$

Этап 1.8

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0, 1$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Вертикальные асимптоты: $x = 0, 1$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{1}{(2) \ln (2)}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (2) = \frac{1}{\ln (2^{2})}$

Этап 2.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{1}{\ln (4)}$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{1}{\ln (4)}$

Этап 2.3

Преобразуем $\frac{1}{\ln (4)}$ в десятичное представление.

$y = 0.72134752$

Этап 3

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{1}{(3) \ln (3)}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $3 \ln (3)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (3) = \frac{1}{\ln (3^{3})}$

Этап 3.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \frac{1}{\ln (27)}$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{\ln (27)}$ .

$\frac{1}{\ln (27)}$

Этап 3.3

Преобразуем $\frac{1}{\ln (27)}$ в десятичное представление.

$y = 0.30341307$

Этап 4

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0, 1$ и точек $(2, 0.72134752), (3, 0.30341307)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0, 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0.721 \\ 3 & 0.303 \end{array}$

Этап 5