Математический анализ Примеры

$\ln (\sec (x))$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \ln (\sec (x))$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \ln (\sec (x))$ .

$\sec (x) = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Найдем значение $arcsec (- \frac{π}{2})$ .

$x = 2.26090341$

Этап 1.2.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Этап 1.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Этап 1.2.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 2.26090341$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.26090341$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $2.26090341$ из $6.2831853$ .

$x = 4.02228188$

Этап 1.2.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Выражение внутри секанса $\sec (x)$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec (x) = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (\frac{3 π}{2})$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Найдем значение $arcsec (\frac{3 π}{2})$ .

$x = 1.3569639$

Этап 1.4.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Этап 1.4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Этап 1.4.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.3569639$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3569639$

Этап 1.4.4.2.2

Вычтем $1.3569639$ из $6.2831853$ .

$x = 4.9262214$

Этап 1.4.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.4.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.4.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.4.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.4.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.5

Основной период $y = \ln (\sec (x))$ находится на промежутке $(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$ , где $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ и $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ являются вертикальными асимптотами.

$(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.6.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \ln (\sec (x))$ находятся в $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ и в каждой точке $π n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$π n$

Этап 1.8

У секанса и косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ для всех целых $n$

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ для всех целых $n$

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln (\sec (1))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем значение $\sec (1)$ .

$f (1) = \ln (1.85081571)$

Этап 2.2.2

Окончательный ответ: $\ln (1.85081571)$ .

$\ln (1.85081571)$

Этап 3

Найдем точку в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \ln (\sec (5))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем значение $\sec (5)$ .

$f (5) = \ln (3.52532008)$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\ln (3.52532008)$ .

$\ln (3.52532008)$

Этап 4

Найдем точку в $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = \ln (\sec (6))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\sec (6)$ .

$f (6) = \ln (1.04148192)$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\ln (1.04148192)$ .

$\ln (1.04148192)$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ и точек $(1, 0.61562647), (5, 1.25997123), (6, 0.04064462)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.616 \\ 5 & 1.26 \\ 6 & 0.041 \end{array}$

Этап 6