Математический анализ Примеры

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = - x^{2} + 1$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

Этап 2.2

Развернем $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- x^{2}$ на $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.7

Умножим $1$ на $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Этап 2.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ и $x]_{- 1}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5} + x$ в $1$ и в $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.4

Добавим $1$ и $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.5

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.10.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.10.2

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.13

Умножим $\frac{6}{5}$ на $1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.15

Добавим $6$ и $6$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.16

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.17

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Этап 10.2.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 10.2.3.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Этап 10.2.3.20

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 10.2.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

Этап 10.2.3.22

Добавим $1$ и $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

Этап 10.2.3.23

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

Этап 10.2.3.24

Умножим $- 2$ на $2$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

Этап 10.2.3.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

Этап 10.2.3.26

Чтобы записать $\frac{12}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

Этап 10.2.3.27

Чтобы записать $- \frac{4}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 10.2.3.28

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.28.1

Умножим $\frac{12}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 10.2.3.28.2

Умножим $5$ на $3$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 10.2.3.28.3

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Этап 10.2.3.28.4

Умножим $3$ на $5$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

Этап 10.2.3.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

Этап 10.2.3.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.30.1

Умножим $12$ на $3$ .

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

Этап 10.2.3.30.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

Этап 10.2.3.30.3

Вычтем $20$ из $36$ .

$V = π (\frac{16}{15})$

Этап 10.2.3.31

Объединим $π$ и $\frac{16}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

Этап 10.2.3.32

Перенесем $16$ влево от $π$ .

$V = \frac{16 π}{15}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{16 π}{15}$

Десятичная форма:

$V = 3.35103216 \dots$

Этап 12