Математический анализ Примеры

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2

Решим $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Исключим дробные показатели степени, умножив и тот, и другой на НОЗ.

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Этап 1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Этап 1.2.3

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Этап 1.2.3.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Этап 1.2.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Этап 1.2.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Этап 1.2.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{5} = 81 x^{1}$

Этап 1.2.3.4

Упростим.

$x^{5} = 81 x$

Этап 1.2.4

Вычтем $81 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{5} - 81 x = 0$

Этап 1.2.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - 81 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

Этап 1.2.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 81 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

Этап 1.2.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ .

$x (x^{4} - 81) = 0$

Этап 1.2.5.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Этап 1.2.5.3

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Этап 1.2.5.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Этап 1.2.5.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Этап 1.2.5.5.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Этап 1.2.5.5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 1.2.5.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 1.2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.8

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2.8.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 1.2.8.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 1.2.8.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 1.2.8.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 1.2.8.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.8.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 1.2.8.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 1.2.8.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 1.2.8.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 1.2.8.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 1.2.9

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.9.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.10

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.10.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.2.11

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.3.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.3.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 3 \cdot 0^{1}$

Этап 1.3.2.2.3

Найдем экспоненту.

$y = 3 \cdot 0$

Этап 1.3.2.2.4

Умножим $3$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 3 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $3 i$ вместо $x$ .

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.4.2

Упростим $3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Применим правило умножения к $3 i$ .

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

Этап 1.4.2.2

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Перенесем $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.4.2.2.2

Умножим $3^{\frac{1}{4}}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.4.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.4.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.4.2.2.5

Добавим $1$ и $4$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = - 3 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $- 3 i$ вместо $x$ .

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.5.2

Применим правило умножения к $- 3 i$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.6

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.7

Вычислим $y$ , когда $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.7.2

Подставим $3$ вместо $x$ в $y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.7.2.2

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.2.1

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.2.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.7.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

Этап 1.7.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 1.7.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

Этап 1.7.2.2.4

Добавим $4$ и $1$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

Этап 1.8

Перечислим все решения.

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

Этап 2

Область между данными кривыми не ограничена.

Неограниченная область

Этап 3