Математический анализ Примеры

$y = 4 - x^{2}$ , $y = x - 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$4 - x^{2} = x - 2$

Этап 1.2

Решим $4 - x^{2} = x - 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$4 - x^{2} - x = - 2$

Этап 1.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 - x^{2} - x + 2 = 0$

Этап 1.2.3

Добавим $4$ и $2$ .

$- x^{2} - x + 6 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 6 = 0$

Этап 1.2.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 6 = 0$

Этап 1.2.4.1.3

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 1.2.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} + x - 6) = 0$

Этап 1.2.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3 + y = x - 2$

Этап 1.2.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x - 2$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2, - 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = (2) - 2$

Этап 1.3.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = (2) - 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 - 2$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (2) - 2$

Этап 1.3.2.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$y = (- 3) - 2$

Этап 1.4.2

Подставим $- 3$ вместо $x$ в $y = (- 3) - 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 3 - 2$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (- 3) - 2$

Этап 1.4.2.3

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$y = - 5$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 0)$

$(- 3, - 5)$

$(2, 0)$

$(- 3, - 5)$

Этап 2

Изменим порядок $4$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 3}^{2} - x^{2} + 4 d x - \int_{- 3}^{2} x - 2 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 3$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 4 - (x - 2) d x$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 4 - x - - 2$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- x^{2} + 4 - x + 2$

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 4 - x + 2 d x$

Этап 4.3

Добавим $4$ и $2$ .

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} - x + 6 d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 4.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 4.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 4.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 4.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 3$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 4.12.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 4.12.3

Найдем значение $6 x$ в $2$ и в $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.3

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.3.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$- (\frac{8}{3} - - 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$- (\frac{8}{3} + 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.6

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.8.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{8 + 27}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.8.2

Добавим $8$ и $27$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.10

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.10.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.11

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.12

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.13

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{35}{3} - \frac{2 \cdot 2 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.15.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{4 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.15.2

Вычтем $9$ из $4$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{- 5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{35}{3} - - \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{35}{3} + 1 (\frac{5}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.18

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.19

Чтобы записать $- \frac{35}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.20

Чтобы записать $\frac{5}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.21

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.21.1

Умножим $\frac{35}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.21.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.21.3

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.21.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 35 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.23.1

Умножим $- 35$ на $2$ .

$\frac{- 70 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.23.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{- 70 + 15}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.23.3

Добавим $- 70$ и $15$ .

$\frac{- 55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.25

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{55}{6} + 12 - 6 \cdot - 3$

Этап 4.12.4.26

Умножим $- 6$ на $- 3$ .

$- \frac{55}{6} + 12 + 18$

Этап 4.12.4.27

Добавим $12$ и $18$ .

$- \frac{55}{6} + 30$

Этап 4.12.4.28

Чтобы записать $30$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + 30 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 4.12.4.29

Объединим $30$ и $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + \frac{30 \cdot 6}{6}$

Этап 4.12.4.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 55 + 30 \cdot 6}{6}$

Этап 4.12.4.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.31.1

Умножим $30$ на $6$ .

$\frac{- 55 + 180}{6}$

Этап 4.12.4.31.2

Добавим $- 55$ и $180$ .

$\frac{125}{6}$

Этап 5