Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 7} \frac{x^{2} - 7 x}{x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 7} x^{2} - 7 x}{lim_{x \to 7} x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 7 x}{lim_{x \to 7} x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 7 x}{lim_{x \to 7} x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 7} x}{lim_{x \to 7} x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $7$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{7^{2} - 7 lim_{x \to 7} x}{lim_{x \to 7} x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{7^{2} - 7 \cdot 7}{lim_{x \to 7} x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{49 - 7 \cdot 7}{lim_{x \to 7} x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Умножим $- 7$ на $7$ .

$\frac{49 - 49}{lim_{x \to 7} x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $49$ из $49$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 6 x - 7}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 6 x - lim_{x \to 7} 7}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 6 x - lim_{x \to 7} 7}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $7$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{0}{7^{2} - 6 lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{0}{7^{2} - 6 \cdot 7 - 1 \cdot 7}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{0}{49 - 6 \cdot 7 - 1 \cdot 7}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Умножим $- 6$ на $7$ .

$\frac{0}{49 - 42 - 1 \cdot 7}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{0}{49 - 42 - 7}$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $42$ из $49$ .

$\frac{0}{7 - 7}$

Этап 1.1.3.6.3

Вычтем $7$ из $7$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 7} \frac{x^{2} - 7 x}{x^{2} - 6 x - 7} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7}{2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7}{2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7}{2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7}{2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7}{2 x - 6 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{2 x - 7}{2 x - 6}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} 2 x - 7}{lim_{x \to 7} 2 x - 6}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} 2 x - lim_{x \to 7} 7}{lim_{x \to 7} 2 x - 6}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}{lim_{x \to 7} 2 x - 6}$

Этап 2.4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{2 lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 7} 2 x - 6}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{2 lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 7} 2 x - lim_{x \to 7} 6}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}{2 lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 6}$

Этап 2.7

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{2 lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}{2 lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $7$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 7 - 1 \cdot 7}{2 lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 7 - 1 \cdot 7}{2 \cdot 7 - 1 \cdot 6}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14 - 1 \cdot 7}{2 \cdot 7 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{14 - 7}{2 \cdot 7 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.1.3

Вычтем $7$ из $14$ .

$\frac{7}{2 \cdot 7 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{7}{14 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{7}{14 - 6}$

Этап 4.2.3

Вычтем $6$ из $14$ .

$\frac{7}{8}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{8}$

Десятичная форма:

$0.875$