Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} - 1}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2^{x} \ln (2)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2^{x} \ln (2)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 2^{x} \ln (2)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\ln (2)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to 0} 2^{x}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\ln (2) \cdot 2^{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\ln (2) \cdot 2^{0}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\ln (2) \cdot 1$

Этап 4.2

Умножим $\ln (2)$ на $1$ .

$\ln (2)$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2)$

Десятичная форма:

$0.69314718 \dots$