Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 27}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 27}{x^{2} - 9}$

Этап 1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 27}{x^{2} - 9}$

Этап 1.3

Найдем предел $27$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 27}{x^{2} - 9}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{x^{2} - 9}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{x^{2} - 9}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$\frac{27 - 27}{x^{2} - 9}$

Этап 3.1.3

Вычтем $27$ из $27$ .

$\frac{0}{x^{2} - 9}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{0}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $(x + 3) (x - 3)$ .

$0$