Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Этап 1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x^{2} + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x^{2} + x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.1.3.2

Умножим $\frac{1}{x^{2} + x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{(x^{2} + x) x}$

Этап 1.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{x (x^{2} + x)}$

Этап 1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x - x}{x (x^{2} + x)}$

Этап 1.1.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 0}{x (x^{2} + x)}$

Этап 1.1.6

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x (x^{2} + x)}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Этап 1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Этап 2.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 2.1.3.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 1}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 3.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Этап 5.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 5.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$