Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} \frac{5}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{5}{t}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $- \frac{5}{t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{5}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{5}{t} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{5}{t}$ на $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{5}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{5 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 0} 5 - 5 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 5 - lim_{t \to 0} 5 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{5 - lim_{t \to 0} 5 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{5 - 5 lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.1.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.1.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.1.3.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}}$

Этап 2.1.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}$

Этап 2.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}$

Этап 2.1.3.5.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

Этап 2.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

Этап 2.1.3.6.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.6.3

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [5 - 5 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [5 - 5 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $5 - 5 \sqrt{1 + t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 5 \sqrt{1 + t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 5 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- 5 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 5 \sqrt{1 + t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + t}$ в виде ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- 5 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.2

Поскольку $- 5$ является константой относительно $t$ , производная $- 5 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ по $t$ равна $- 5 \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = 1 + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.4

По правилу суммы производная $1 + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.12

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.14

Умножим $\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 \frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.15

Перенесем ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 \frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.16

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{- 5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.4.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to 0} \frac{0 - \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.5

Вычтем $\frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Этап 2.3.6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + t}$ в виде ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.8.2

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.15

Перенесем ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.16

Объединим $\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.17

По правилу суммы производная $1 + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.18

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.19

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.21

Умножим $\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Этап 2.3.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Этап 2.3.23

Умножим ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.3.24

Чтобы записать ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.25

Объединим ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.27

Умножим ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.27.1

Перенесем ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.27.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.27.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.27.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.27.5

Разделим $2$ на $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.28

Упростим ${(1 + t)}^{1} \cdot 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + (1 + t) \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.29

Перенесем $2$ влево от $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 \cdot (1 + t)}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.30.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 \cdot 1 + 2 t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.30.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.30.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 + 2 t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.30.2.2

Добавим $t$ и $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 t + 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{t \to 0} - \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{3 t + 2}$

Этап 2.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{3 t + 2}$

Этап 2.5.2

Перепишем ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + t}}{3 t + 2}$

Этап 2.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{1 + t}}{3 t + 2}$ на $\frac{5}{2 \sqrt{1 + t}}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + t} \cdot 5}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

Этап 2.6.2

Умножим $5$ на $2$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{10 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

Этап 2.7

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 \sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + t})}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

Этап 2.7.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + t})}{2 ((3 t + 2) (\sqrt{1 + t}))}$

Этап 2.7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + t})}{2 ((3 t + 2) (\sqrt{1 + t}))}$

Этап 2.7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) (\sqrt{1 + t})}$

Этап 2.7.2

Сократим общий множитель $\sqrt{1 + t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) \sqrt{1 + t}}$

Этап 2.7.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to 0} - \frac{5}{3 t + 2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to 0} \frac{5}{3 t + 2}$

Этап 3.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 5 lim_{t \to 0} \frac{1}{3 t + 2}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$- 5 \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 3 t + 2}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{t \to 0} 3 t + 2}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{t \to 0} 3 t + lim_{t \to 0} 2}$

Этап 3.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 5 \frac{1}{3 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 2}$

Этап 3.7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$- 5 \frac{1}{3 lim_{t \to 0} t + 2}$

Этап 4

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$- 5 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$- 5 \frac{1}{0 + 2}$

Этап 5.1.2

Добавим $0$ и $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Этап 5.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$- 2.5$