Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Объединим противоположные члены в ${(x + 0)}^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x (x + h) + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + h x + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $x^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $h$ , производная $2 h x$ по $h$ равна $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $- x^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1.1

Добавим $0$ и $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.1.2

Добавим $2 x + 2 h$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.10.2

Изменим порядок членов.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 h + 2 x$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + 2 x$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 2 x$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x$

Этап 2.3

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h + 2 x$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$2 \cdot 0 + 2 x$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 2 x$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$