Математический анализ Примеры

$y = {(2 x + 1)}^{4 x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем ${(2 x + 1)}^{4 x}$ в виде $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})$ , вынося $4 x$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x \ln (2 x + 1)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x \ln (2 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x \ln (2 x + 1)$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

Этап 3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \ln (2 x + 1)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x + 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.5.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{1}{2 x + 1}$ и $x$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6.5

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6.7.2

Объединим $\frac{x}{2 x + 1}$ и $2$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6.7.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1))$

Этап 3.6.9

Умножим $\ln (2 x + 1)$ на $1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)))$

Этап 3.7

Чтобы записать $\ln (2 x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}))$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

Этап 3.9

Объединим $4$ и $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Этап 3.10

Объединим $e^{4 x \ln (2 x + 1)}$ и $\frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$ .

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Упростим $4 \ln (2 x + 1)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.4

Умножим $\ln (2 x + 1)$ на $1$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.5

Упростим $2 \ln (2 x + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.7

Умножим $4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.2.7.1

Изменим порядок $\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ и $4$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.7.2

Упростим $4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.8

Упростим $4 \ln (2 x + 1)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.9

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 1)}^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.2.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.2.9.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{8}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Этап 3.11.2.5

Изменим порядок множителей в $8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})$ .

$\frac{8 x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} + x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Этап 3.11.3

Изменим порядок членов.

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$