Математический анализ Примеры

$\arctan (x)$

Этап 1

Запишем $\arctan (x)$ в виде функции.

$f (x) = \arctan (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \arctan (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arctan (x)$ и $d v = 1$ .

$\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 7.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \arctan (x)$ .

$F (x) =$ $\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$