Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2
Продифференцируем.
Этап 1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.2.4
Упростим выражение.
Этап 1.2.4.1
Добавим и .
Этап 1.2.4.2
Умножим на .
Этап 1.2.4.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 2
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.4
Продифференцируем.
Этап 2.4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.4.4
Упростим выражение.
Этап 2.4.4.1
Добавим и .
Этап 2.4.4.2
Умножим на .
Этап 2.5
Возведем в степень .
Этап 2.6
Возведем в степень .
Этап 2.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.8
Добавим и .
Этап 2.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.10
Умножим на .
Этап 2.11
Упростим.
Этап 2.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.4
Объединим термины.
Этап 2.11.4.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.11.4.1.1
Перенесем .
Этап 2.11.4.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.11.4.1.3
Добавим и .
Этап 2.11.4.2
Перенесем влево от .
Этап 2.11.4.3
Умножим на .
Этап 2.11.4.4
Умножим на .
Этап 2.11.4.5
Перенесем влево от .
Этап 2.11.4.6
Умножим на .
Этап 2.11.5
Упростим каждый член.
Этап 2.11.5.1
Перепишем в виде .
Этап 2.11.5.2
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 2.11.5.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.5.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.5.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.5.3
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 2.11.5.3.1
Упростим каждый член.
Этап 2.11.5.3.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.11.5.3.1.1.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.11.5.3.1.1.2
Добавим и .
Этап 2.11.5.3.1.2
Перенесем влево от .
Этап 2.11.5.3.1.3
Перепишем в виде .
Этап 2.11.5.3.1.4
Перепишем в виде .
Этап 2.11.5.3.1.5
Умножим на .
Этап 2.11.5.3.2
Вычтем из .
Этап 2.11.5.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.5.5
Упростим.
Этап 2.11.5.5.1
Умножим на .
Этап 2.11.5.5.2
Умножим на .
Этап 2.11.6
Добавим и .
Этап 2.11.7
Вычтем из .
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Этап 4.1
Найдем первую производную.
Этап 4.1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.1.2
Продифференцируем.
Этап 4.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.1.2.4
Упростим выражение.
Этап 4.1.2.4.1
Добавим и .
Этап 4.1.2.4.2
Умножим на .
Этап 4.1.2.4.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 4.2
Первая производная по равна .
Этап 5
Этап 5.1
Пусть первая производная равна .
Этап 5.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 5.3
Приравняем к .
Этап 5.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 5.4.1
Приравняем к .
Этап 5.4.2
Решим относительно .
Этап 5.4.2.1
Разложим левую часть уравнения на множители.
Этап 5.4.2.1.1
Перепишем в виде .
Этап 5.4.2.1.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 5.4.2.1.3
Применим правило умножения к .
Этап 5.4.2.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 5.4.2.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 5.4.2.3.1
Приравняем к .
Этап 5.4.2.3.2
Решим относительно .
Этап 5.4.2.3.2.1
Приравняем к .
Этап 5.4.2.3.2.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.4.2.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 5.4.2.4.1
Приравняем к .
Этап 5.4.2.4.2
Решим относительно .
Этап 5.4.2.4.2.1
Приравняем к .
Этап 5.4.2.4.2.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.4.2.5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 5.5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 6
Этап 6.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 7
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 8
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 9
Этап 9.1
Упростим каждый член.
Этап 9.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 9.1.2
Умножим на .
Этап 9.1.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 9.1.4
Умножим на .
Этап 9.2
Упростим путем добавления чисел.
Этап 9.2.1
Добавим и .
Этап 9.2.2
Добавим и .
Этап 10
— локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.
— локальный минимум
Этап 11
Этап 11.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 11.2
Упростим результат.
Этап 11.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 11.2.2
Вычтем из .
Этап 11.2.3
Возведем в степень .
Этап 11.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 12
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 13
Этап 13.1
Упростим каждый член.
Этап 13.1.1
Возведем в степень .
Этап 13.1.2
Умножим на .
Этап 13.1.3
Возведем в степень .
Этап 13.1.4
Умножим на .
Этап 13.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 13.2.1
Вычтем из .
Этап 13.2.2
Добавим и .
Этап 14
Этап 14.1
Разобьем на отдельные интервалы в окрестности значений , при которых первая производная равна или не определена.
Этап 14.2
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Этап 14.2.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 14.2.2
Упростим результат.
Этап 14.2.2.1
Умножим на .
Этап 14.2.2.2
Возведем в степень .
Этап 14.2.2.3
Вычтем из .
Этап 14.2.2.4
Возведем в степень .
Этап 14.2.2.5
Умножим на .
Этап 14.2.2.6
Окончательный ответ: .
Этап 14.3
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Этап 14.3.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 14.3.2
Упростим результат.
Этап 14.3.2.1
Умножим на .
Этап 14.3.2.2
Возведем в степень .
Этап 14.3.2.3
Вычтем из .
Этап 14.3.2.4
Возведем в степень .
Этап 14.3.2.5
Умножим на .
Этап 14.3.2.6
Окончательный ответ: .
Этап 14.4
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Этап 14.4.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 14.4.2
Упростим результат.
Этап 14.4.2.1
Умножим на .
Этап 14.4.2.2
Возведем в степень .
Этап 14.4.2.3
Вычтем из .
Этап 14.4.2.4
Возведем в степень .
Этап 14.4.2.5
Умножим на .
Этап 14.4.2.6
Окончательный ответ: .
Этап 14.5
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Этап 14.5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 14.5.2
Упростим результат.
Этап 14.5.2.1
Умножим на .
Этап 14.5.2.2
Возведем в степень .
Этап 14.5.2.3
Вычтем из .
Этап 14.5.2.4
Возведем в степень .
Этап 14.5.2.5
Умножим на .
Этап 14.5.2.6
Окончательный ответ: .
Этап 14.6
Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.
Не локальный максимум или минимум
Этап 14.7
Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности , — локальный минимум.
— локальный минимум
Этап 14.8
Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.
Не локальный максимум или минимум
Этап 14.9
Это локальные экстремумы .
— локальный минимум
— локальный минимум
Этап 15