Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2
Производная по равна .
Этап 1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2
Продифференцируем.
Этап 1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.2.4
Объединим дроби.
Этап 1.2.4.1
Добавим и .
Этап 1.2.4.2
Объединим и .
Этап 1.2.4.3
Объединим и .
Этап 2
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Продифференцируем.
Этап 2.3.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.2
Перенесем влево от .
Этап 2.3.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.3.6
Упростим выражение.
Этап 2.3.6.1
Добавим и .
Этап 2.3.6.2
Умножим на .
Этап 2.4
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.4.1
Перенесем .
Этап 2.4.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.4.3
Добавим и .
Этап 2.5
Объединим и .
Этап 2.6
Упростим.
Этап 2.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.6.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.6.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.6.4
Упростим числитель.
Этап 2.6.4.1
Упростим каждый член.
Этап 2.6.4.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.6.4.1.1.1
Перенесем .
Этап 2.6.4.1.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.6.4.1.1.3
Добавим и .
Этап 2.6.4.1.2
Умножим на .
Этап 2.6.4.1.3
Умножим на .
Этап 2.6.4.1.4
Умножим на .
Этап 2.6.4.1.5
Умножим на .
Этап 2.6.4.2
Вычтем из .
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Этап 4.1
Найдем первую производную.
Этап 4.1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.1.1.2
Производная по равна .
Этап 4.1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.1.2
Продифференцируем.
Этап 4.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.1.2.4
Объединим дроби.
Этап 4.1.2.4.1
Добавим и .
Этап 4.1.2.4.2
Объединим и .
Этап 4.1.2.4.3
Объединим и .
Этап 4.2
Первая производная по равна .
Этап 5
Этап 5.1
Пусть первая производная равна .
Этап 5.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 5.3
Решим уравнение относительно .
Этап 5.3.1
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 5.3.1.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.3.1.2
Упростим левую часть.
Этап 5.3.1.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 5.3.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.1.2.1.2
Разделим на .
Этап 5.3.1.3
Упростим правую часть.
Этап 5.3.1.3.1
Разделим на .
Этап 5.3.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 5.3.3
Упростим .
Этап 5.3.3.1
Перепишем в виде .
Этап 5.3.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.
Этап 6
Этап 6.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 7
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 8
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 9
Этап 9.1
Упростим числитель.
Этап 9.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 9.1.2
Умножим на .
Этап 9.1.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 9.1.4
Умножим на .
Этап 9.1.5
Добавим и .
Этап 9.2
Упростим знаменатель.
Этап 9.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 9.2.2
Добавим и .
Этап 9.2.3
Возведем в степень .
Этап 9.3
Разделим на .
Этап 10
Этап 10.1
Разобьем на отдельные интервалы в окрестности значений , при которых первая производная равна или не определена.
Этап 10.2
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Этап 10.2.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 10.2.2
Упростим результат.
Этап 10.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 10.2.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 10.2.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 10.2.2.2.2
Добавим и .
Этап 10.2.2.3
Упростим выражение.
Этап 10.2.2.3.1
Умножим на .
Этап 10.2.2.3.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10.2.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 10.3
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Этап 10.3.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 10.3.2
Упростим результат.
Этап 10.3.2.1
Упростим числитель.
Этап 10.3.2.1.1
Перепишем в виде .
Этап 10.3.2.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 10.3.2.1.3
Добавим и .
Этап 10.3.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 10.3.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 10.3.2.2.2
Добавим и .
Этап 10.3.2.3
Возведем в степень .
Этап 10.3.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 10.4
Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности , — локальный минимум.
— локальный минимум
— локальный минимум
Этап 11