Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (π x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Этап 1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $π$ на $1$ .

$- \sin (π x) π$

Этап 1.2.3.2

Изменим порядок множителей в $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π \sin (π x)$ по $x$ равна $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x$ .

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

Этап 2.3

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Этап 2.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- π \sin (π x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- π \sin (π x) = 0$ на $- π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- π \sin (π x) = 0$ на $- π$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $\sin (π x)$ на $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$π x = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$π x = 0$

Этап 7

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $0$ на $π$ .

$x = 0$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$π x = π - 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π x = π + 0$

Этап 9.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$π x = π$

Этап 9.2

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{π}$

Этап 9.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 1$

Этап 10

Решение уравнения $π x = 0$ .

$x = 0, 1$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- π^{2} \cos (π (0))$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $π$ на $0$ .

$- π^{2} \cos (0)$

Этап 12.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- π^{2} \cdot 1$

Этап 12.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- π^{2}$

Этап 13

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \cos (π (0))$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Этап 14.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 14.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- π^{2} \cos (π (1))$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $π$ на $1$ .

$- π^{2} \cos (π)$

Этап 16.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- π^{2} (- \cos (0))$

Этап 16.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- π^{2} \cdot - 1$

Этап 16.5

Умножим $- π^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 π^{2}$

Этап 16.5.2

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$π^{2}$

Этап 17

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \cos (π (1))$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$f (1) = \cos (π)$

Этап 18.2.2

$f (1) = - \cos (0)$

Этап 18.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Этап 18.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1$

Этап 18.2.5

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = \cos (π x)$ .

$(0, 1)$ — локальный максимум

$(1, - 1)$ — локальный минимум

Этап 20