Математический анализ Примеры

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 - 2 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $1 - 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Этап 2.3

Вычтем $2 \cos (x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Этап 5

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 9

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 9.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 10

Решение уравнения $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 12.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \sqrt{3}$

Этап 12.3

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Этап 13

$x = \frac{π}{6}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{6}$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = (\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 14.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 14.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 14.2.2

Окончательный ответ: $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 16.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 16.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 16.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 16.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 16.3.4

Перепишем это выражение.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Этап 16.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Этап 16.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{3}$

Этап 17

$x = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = (\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 18.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 18.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 18.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 18.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 18.2.2

Окончательный ответ: $\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = x + 2 \cos (x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ — локальный максимум

$(\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3})$ — локальный минимум

Этап 20