Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Этап 1.3.4

Изменим порядок членов.

$2 x \ln (x) + x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x \ln (x) + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Этап 2.4.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x \ln (x) + x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Этап 4.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Этап 5.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x \ln (x) = - x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x \ln (x) = - x$ на $2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x \ln (x) = - x$ на $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5.5

Перепишем $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Этап 5.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 6.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем $e^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

Этап 9.1.2

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ , вынося $- \frac{1}{2}$ из логарифма.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

Этап 9.1.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

Этап 9.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Этап 9.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Этап 9.1.5.3

Перепишем это выражение.

$- 1 + 3$

Этап 9.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$2$

Этап 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.2.2.2

Упростим.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.2.3

Перенесем $e^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Этап 11.2.4

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ , вынося $- \frac{1}{2}$ из логарифма.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Этап 11.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 11.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Этап 11.2.7

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

Этап 11.2.8

Перенесем $2$ влево от $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

Этап 11.2.9

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2 e}$ .

$y = - \frac{1}{2 e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ — локальный минимум

Этап 13