Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} - x - 3}{x + 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - x - 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} - lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} - lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 + 1 - 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.6.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.2.6.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Этап 1.1.3.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} - x - 3}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 3]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 3]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} - x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.6

Добавим $4 x - 1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x - 1}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x - 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x - 1}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x - 1}{1 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x - 1}{1}$

Этап 1.4

Разделим $4 x - 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} 4 x - 1$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} 4 x - lim_{x \to - 1} 1$

Этап 2.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$4 \cdot - 1 - 1 \cdot 1$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 - 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$- 5$