Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x^{2}}{5 x - x^{2}}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Этап 2.2.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Этап 2.2.2.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Этап 2.2.2.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 4.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0 + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Этап 6.2.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.3

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$