Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{x^{3} - 64}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4}{lim_{x \to 4} x^{3} - 64}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{3} - 64}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{3} - 64}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{3} - 64}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} x^{3} - 64}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{3} - 64}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{3} - lim_{x \to 4} 64}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} - lim_{x \to 4} 64}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $64$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 1 \cdot 64}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{4^{3} - 1 \cdot 64}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{0}{64 - 1 \cdot 64}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $64$ .

$\frac{0}{64 - 64}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $64$ из $64$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{x^{3} - 64} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 64]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 64]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 64]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 64]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 64]}$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 64]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{3} - 64$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 64]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 64]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{3 x^{2} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{3 x^{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 4} \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4^{2}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4^{2}}$

Этап 4.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4^{2}}$

Этап 4.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 16}$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{1}{48}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{48}$

Десятичная форма:

$0.0208\overline{3}$