Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(1 - \frac{4}{x})}^{x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} - \frac{4}{x})}^{x}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 4}{x})}^{x}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{x - 4}{x})}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x - 4}{x})}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x - 4}{x})}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x})}$

Этап 3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 4}{x})}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 3.6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}^{8})}$

Этап 5.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}^{8}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $8 - 1 \cdot 4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 \cdot 4}{8})}^{8}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 4$ .

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 (4)}{8})}^{8}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 8) - 1 (4)$ .

${(\frac{- 1 (- 8 + 4)}{8})}^{8}$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $4$ из $- 1 (- 8 + 4)$ .

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{8})}^{8}$

Этап 5.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{4 (2)})}^{8}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель.

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{4 \cdot 2})}^{8}$

Этап 5.3.5.3

Перепишем это выражение.

${(\frac{- 1 (- 2 + 1)}{2})}^{8}$

Этап 5.4

Добавим $- 2$ и $1$ .

${(\frac{- 1 \cdot - 1}{2})}^{8}$

Этап 5.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${(\frac{1}{2})}^{8}$

Этап 5.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{8}}{2^{8}}$

Этап 5.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2^{8}}$

Этап 5.8

Возведем $2$ в степень $8$ .

$\frac{1}{256}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{256}$

Десятичная форма:

$0.00390625$