Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Этап 1.2

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{2})$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$ в виде $\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} \cdot 3 x) + C$