Математический анализ Примеры

$\sqrt{x^{7}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{7}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{7}$ в виде ${(x^{3})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем $x^{6}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{6} x}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x^{3})}^{2} x}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Умножим $x^{3}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}]$

Этап 3.5.2

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$

Этап 9

Объединим $\frac{7}{2}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$