Математический анализ Примеры

$\sec^{2} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 1.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Этап 1.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec^{2} (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Этап 2.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Этап 2.4

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 2.6

Перенесем $2$ влево от $\tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.7

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 2.8

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

Этап 2.9

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

Этап 2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

Этап 2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

Этап 2.12

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

Этап 2.13

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

Этап 2.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

Этап 2.15

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 2.16.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 2.16.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.2

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.4

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.6

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.7

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.7.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.8

Перенесем $2$ влево от $\sec^{4} (x)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.9

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.10

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.13

Умножим $\tan^{2} (x)$ на $\tan (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.13.1

Перенесем $\tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.13.2

Умножим $\tan (x)$ на $\tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.13.2.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.13.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.2.14

Перенесем $2$ влево от $\tan^{3} (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec^{4} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.3.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 3.3.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

Этап 3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

Этап 3.3.6

Добавим $1$ и $3$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

Этап 3.3.7

Умножим $4$ на $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Этап 3.4.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Этап 3.4.2.3

Добавим $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ и $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (x) \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 \sec^{4} (x) \tan (x)$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan (x)]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.2

$16 (\sec^{4} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (x)$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (x)$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.6

Умножим $\sec^{4} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 ({\sec (x)}^{4 + 2} + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.6.2

Добавим $4$ и $2$ .

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.7

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.9

Добавим $1$ и $3$ .

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 \sec^{4} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.10

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.11

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.2.13

Добавим $1$ и $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Этап 4.3.2

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Этап 4.3.3.2

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Этап 4.3.4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Этап 4.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\tan (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]))$

Этап 4.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]))$

Этап 4.3.5.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\tan (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]))$

Этап 4.3.6

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.7

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.8

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.11

Умножим $\tan^{3} (x)$ на $\tan (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Перенесем $\tan (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan (x) \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.11.2

Умножим $\tan (x)$ на $\tan^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.2.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{1} (x) \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 ({\tan (x)}^{1 + 3} (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.11.3

Добавим $1$ и $3$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{4} (x) (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.12

Перенесем $2$ влево от $\tan^{4} (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \cdot \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Этап 4.3.13

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x)))$

Этап 4.3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + {\sec (x)}^{2 + 2} (3 \tan^{2} (x)))$

Этап 4.3.13.3

Добавим $2$ и $2$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) (3 \tan^{2} (x)))$

Этап 4.3.14

Перенесем $3$ влево от $\sec^{4} (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \sec^{6} (x) + 16 (4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \sec^{6} (x) + 16 (4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x)) + 8 (3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Этап 4.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $4$ на $16$ .

$16 \sec^{6} (x) + 64 (\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x)) + 8 (3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Этап 4.4.3.2

Умножим $2$ на $8$ .

$16 \sec^{6} (x) + 64 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 (\tan^{4} (x) \sec^{2} (x)) + 8 (3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Этап 4.4.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$16 \sec^{6} (x) + 64 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 24 (\sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Этап 4.4.3.4

Добавим $64 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ и $24 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

$16 \sec^{6} (x) + 88 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4.4.4

Изменим порядок членов.

$f^{4} (x) = 88 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 16 \sec^{6} (x)$