Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{10} i (i^{2} + 1)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$i \cdot i^{2} + i \cdot 1$

Этап 1.2

Умножим $i$ на $i^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $i$ на $i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$i^{1} i^{2} + i \cdot 1$

Этап 1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$i^{1 + 2} + i \cdot 1$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$i^{3} + i \cdot 1$

Этап 1.3

Умножим $i$ на $1$ .

$i^{3} + i$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i = \sum_{i = 1}^{10} i^{3} + \sum_{i = 1}^{10} i$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{10} i^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $3$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $10$ и $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Этап 3.3.1.3

Возведем $11$ в степень $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $100$ на $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $12100$ на $4$ .

$3025$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{10} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 (10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Этап 4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Этап 4.3.1.2.4

Разделим $5 (10 + 1)$ на $1$ .

$5 (10 + 1)$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $10$ и $1$ .

$5 \cdot 11$

Этап 4.3.2.2

Умножим $5$ на $11$ .

$55$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$3025 + 55$

Этап 6

Добавим $3025$ и $55$ .

$3080$