Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 5}^{13} 3 i + 2$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 5}^{13} 3 i + 2 = \sum_{k = 1}^{13} 3 i + 2 - \sum_{k = 1}^{4} 3 i + 2$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{13} 3 i + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{13} 3 i + 2 = 3 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 2$

Этап 2.2

Найдем значение $3 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(3) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $13$ и $1$ .

$3 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $13$ на $14$ .

$3 (\frac{182}{2})$

Этап 2.2.3.3

Разделим $182$ на $2$ .

$3 \cdot 91$

Этап 2.2.3.4

Умножим $3$ на $91$ .

$273$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{13} 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.3.2

Подставим значения в формулу.

$(2) (13)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $13$ .

$26$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$273 + 26$

Этап 2.5

Добавим $273$ и $26$ .

$299$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{4} 3 i + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$3 \cdot 1 + 2 + 3 \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + 2 + 3 \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Этап 3.2.2

Добавим $3$ и $2$ .

$5 + 3 \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$5 + 6 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Этап 3.2.4

Добавим $6$ и $2$ .

$5 + 8 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Этап 3.2.5

Добавим $5$ и $8$ .

$13 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Этап 3.2.6

Умножим $3$ на $3$ .

$13 + 9 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Этап 3.2.7

Добавим $9$ и $2$ .

$13 + 11 + 3 \cdot 4 + 2$

Этап 3.2.8

Добавим $13$ и $11$ .

$24 + 3 \cdot 4 + 2$

Этап 3.2.9

Умножим $3$ на $4$ .

$24 + 12 + 2$

Этап 3.2.10

Добавим $12$ и $2$ .

$24 + 14$

Этап 3.2.11

Добавим $24$ и $14$ .

$38$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$299 - 38$

Этап 5

Вычтем $38$ из $299$ .

$261$